E39 525i BJ 2001, der Schlüssel gibt kein Signal mehr. Das Auto ist im kurzen Stadtverkehr die letzten zwei Wochen betrieben worden, vielleicht entlädt er sich zu schnell, aber wie erkenne ich, ob die Ladespule im Zündschloss noch funktioniert?

Leg den Schlüssel mal ne Nacht auf den Ladenippel einer Docking-Station einer elektrischen Zahnbürste.
Wenn er früh wieder genug Strom hat ist deine Ladespule im Auto hin....

Also, bei BJ. 2001 ist es ein Wunder, dass der Akku überhaupt so lange funktioniert hat.
Du solltest nicht die Ladespule verdächtigen, sondern den Akku im Schlüssel wechseln.
Funktioniert der Zweitschlüssel?