So, jetzt will ich aber auch nochmal...
Mel hat mir eine Aufgabe geschickt.
Der Graph ist von der Funktion f(x)= 1/2x³+3/2x+2
Also aufmalen und Wertetabelle erstellen:
x -3 -2 -1 0 1 2
----------------------
y -16 -5 0 2 4 9
Allgemein:
f(x) = ax³+bx²+cx+d
f'(x) = 3ax²+2bx+c
f''(x) = 3*2ax+2b
Was kann man aus dem Graphen ablesen?
f(0) = 2 d.h. das x-freie Glied ist 2, ich denke, das kann man direkt am Graphen ablesen
Also d = 2
Die Funktion f(x) hat keine Extremstellen, d.h. die 1. Ableitung ist überall ungleich Null.
Die Funktion f(x) hat einen Wendepunkt bei x = 0 d.h. die 2. Ableitung an dieser Stelle ist Null
Also f''(0) = 0 => 0 = 3*2*a*0 + 2*b daraus folgt b=0
Die 2. Ableitung ist eine Funktion 1.Grades also eine Gerade.
Die Funktion f(x) ist links von x=0 nach rechts gekrümmt (konkav) d.h. f'' für x<0 ist negativ
Die Funktion f(x) ist rechts von x=0 nach links gekrümmt (konvex) d.h. f'' für x>0 ist positiv
f''(x) ist also eine steigende Gerade mit x=0 und y=0 und der Steigung 2*3*a
Weil f''(x) eine Nullstelle bei x=0 hat, liegt bei x=0 ein Extremwert von f'(x)
Wir haben jetzt die Variablen b und d ermittelt, für a und c setze ich in f(x) ein und stelle ein
Gleichungssystem mit den Variablen a und c auf.
Ich könnte auch aus 4 Wertepaaren eine Gleichungssystem mit 4 Variablen aufstellen und lösen.
Aber da ich schon 2 Variablen habe, vereinfacht sich die Sache.
f(-2) = a*(-2)³ + c*(-2) + 2 = -5
=> -8a -2c + 2 = -5
=> -8a -2c + 7 = 0
=> 8a +2c - 7 = 0
=> a + 2/8c -7/8 = 0
=> a = 7/8 - 2/8c (G1)
f(1) = a*(1)³ + c*(1) + 2 = 4
=> a + c + 2 = 4
=> a = 2 - c (G2)
in (G1) einsetzen => 2 - c = 7/8 - 2/8c
=> 9/8 = 6/8c
=> 9 = 6c
=> c = 9/6 = 3/2
c = 3/2 in (G2) einsetzen => a = 2 - 3/2
a = 1/2
Also f(x) = 1/2x³ + 0x² + 3/2x + 2
Habe das Mel schon per PN geschickt, Ihr sollt auch was davon haben... ;-)
Ciao - Carsten
