Matheaufgabe im Film "21", Wer kanns mir erklären? (Geplaudere Forum)

Ich war gestern im Kino und hab mir "21" angeschaut. Ein echt guter Film, aber da war am Anfang eine Aufgabe im Hörsaal der Uni, die ich bis heute nach langem hin und her überlegen nicht raffe. Und zwar:

Man ist Kandidat bei einer Gameshow und hat drei Tore zur Auswahl. In einem befindet sich ein nagelneues Auto, in den zwei anderen eine Ziege. Der Kandidat hat Tor 3 gewählt, da macht der Moderator Tor 2 auf hinter dem sich eine Ziege befindet. Der Kanditat wird gefragt ob er denn bei Tor 3 bleiben oder Tor 1 nehmen möchte. Da sagt der Typ er nimmt Tor 1 weil sich dann seine Chancen erhöhen. Bei der ersten Wahl hätte er eine Chance von 33,3% gehabt (soweit komme ich noch mit). Als der Moderator aber das Tor 2 aufgemacht hat, und eine Ziege dahinter war hätten sich seine Chancen erhöht, und deswegen würde er seine Wahl wechseln weil der Tor 1 jetzt eine Trefferwarscheinlichkeit von 66,7% hat. Aber wieso das denn?! In meinen Augen stehen die Chancen jetzt 50/50 und die Chancen haben sich erhöht, das ist schon klar, aber das doch für beide Tore?! Ob er bei Tor 3 bleibt oder Tor 1 nimmt macht doch keinen Unterschied?!

Ich verstehst nicht. Kanns mir jemand erklären?!

Gruß Matze

Wie erhöhst du deine Gewinnchancen?

a) Du behältst dein am Anfang gewähltes Tor

b) Du wechselst zum anderen Tor

c) egal deine Chance steht 50:50
Überlegen


Mein Erklärungsversuch:

Mit einem Wechsel des Tores hat man eine höhere Gewinnchance.

Wenn ich wechsel:
Gewinne ich, wenn mein erster Tip falsch war.
Gewinn-Chance 2 zu 3
Wenn ich nicht wechsel:
Gewinne ich, wenn mein erster Tip richtig war.
Gewinn-Chance 1 zu 3

Ist ein bekanntes Rätsel, hab ich vor Jahren mal gelesen. Also nix neues!

Hier eine relativ leichte Erklärung. Die hilft dir auch weiter wieso du bzw. auch viele andere auf die 50/50 kommen. Was nicht stimmt!
Bevor ich lange erkläre hier einfach ein link.

Klick

MfG Richi

behaelst du das tor ist deine chance 33%
wechselst du das tor ist deine chance 50%

das angeblich sogar logisch ... ich nenn es wahrscheinlichkeitsrechnung :D

die mathematik geht dabei von der anfangssituation aus, daher behaelst du mit dem tor auch die chance zu gewinnen ... halt 1 von 3
waehlst du nun ein anderes tor aenderst du die ausgangssituation, da deine chance auf 50% weil du nun 1 tor mit gewinn und eines ohnes hast ...

ich hoffe kapierst was ich meine =)

@sto`teac
Aber die Gewinnchance steigt ja nicht auf 50%, sondern auf 66,7%. Bei 50% könnte ich ja auch bei meinem Tor 1 bleiben, das hätte ja dann auch 50% wenn schon eine Niete weggefallen ist...

@ CrAsHoVeR
Hm, aber angenommen das Auto und die Ziegen sind in den gleichen Toren wie grade eben, aber diesmal wählt der Typ Tor 2 und der Moderator macht wieder Tor 3 auf wohinter ne Ziege ist, müsste er ja wieder umsteigen auf Tor 1, was im Beispiel vorher ja nur 33,3% Gewinnchancen hatte (bei gleicher Auto-Ziegen-verteilung), jetzt aber ne Gewinnchance von 66,7%?!

Das ist so eine hin und her Rechnung aber wie man in der Physik
sagt "in 2-Systemen" (relativ & nicht relativ), da braucht man
nicht lange zu rechnen. Man muss den Zeitpunkt genau betrachten
und die Bedingungen. Zum Zeitpunkt der Auswahl hat er einmal 3
Möglichkeiten (~33% Trefferquote), nachdem Tor 2 nun offen ist,
dort die Ziege ist UND er immernoch nicht weiss was in Tor 3 ist,
steht er nun vor der Wahl vor 2 Toren denn es sind nur noch 1xZiege
und 1xAuto übrig. (50% Trefferquote).

In der Erklärung bei Wiki ist auch der Fehler drin:

Zitat:

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Also bietet der Moderator lediglich an, dass der Kandidat durch einen Tor-Wechsel das Auto dann bekommt, wenn es hinter einem beliebigen der zwei anfangs nicht ausgewählten Tore steckt.

---

Fehler: Eines der zwei nicht gewählten Tore wurde zum Zeitpunkt des
Angebotes (das Tor doch zu wechseln) schon geöffnet.

Seine Chance WÄRE ~66% wenn er von Anfang an (wo alle Tore geschlossen
sind) 2 Tore aussuchen dürfte.

Bei 3 Tore würde ich nicht wechseln. Aber wenn ich am anfang 1000 tore zur auswahl hätte, hätte ich schon gewechselt. Das Beispiel eine million Tore bei wiki ist logisch. Weil der Moderator weiß bei welchem Tor das Auto ist.

ich würd gern die ziege haben

Zitat:

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ich würd gern die ziege haben

(Zitat von: 318ci_2001)

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*lol*

Also für mich mit meiner Logik (scheinbar ist die sehr begrenzt) hat er nachdem das eine Tor mit der Ziege offen ist, eine Chance von 50%. Ich hab mir die Erklärung von Wiki jetzt ein paar mal durchgelesen, aber ich verstehe es trotzdem nicht. Er weiß doch nicht in welchem Tor das Auto ist, und wenn die Chancen 50% stehen dann kann er auch gleich bei seinem Tor bleiben oder nicht?! Das hat ja dann auch 50% Gewinnchance...

Manchmal muss man einsehen das man dum ist. ;-)

och matze is doch loooogisch ;)....

Also hier darf man ja nicht von gefühltem ausgehen, faktisch stimmt das mit der wachsenden Wahrscheinlichkeit beim Wechsel zu dem anderen Tor !

Einfacher zum Verständnis ist vielleicht der folgende Absatz vom Wiki:

Das Ziegenproblem lässt sich auch erklären, indem man die Situation überspitzt. Es gibt dann eine Million Tore und hinter genau einem befindet sich das Auto. Nachdem der Kandidat ein Tor gewählt hat, öffnet der Moderator alle anderen Tore bis auf eines. Hier ist es sofort einsichtig, dass der Kandidat wechseln sollte: Die Wahrscheinlichkeit, mit dem zuerst gewählten Tor richtig zu liegen, ist sehr gering. Wenn man die Zahl der Tore verringert, ändert sich nichts daran, dass der Kandidat das Tor wechseln sollte, nachdem der Moderator alle bis auf eine Niete entfernt hat. Insbesondere gilt dies auch für den Fall mit drei Toren.

Hm, ich seh schon. Ich werd das nicht verstehen. Liegt bestimmt nicht an euren Erklärungen, aber für mich ist das nicht logisch. Es kann doch genauso gut sein das man doch das Auto erwischt beim ersten mal. Naja ist ja auch egal. Es scheint ja zu stimmen, weil ja bei wiki auch das Fallbeispiel ist "Schema für die (richtige) „Immer-Wechsel“-Strategie" und da sind es ja wirklich dann 66,7%. Erklären kann ich es mir trotzdem nicht. :-)

nein, die chance ist naemlich nicht die gleiche!

bei der ersten auswahl war sie 1 zu 1mio ...
wenn du das tor wechselst hast du eine andere ausgangssituation, naemlich 1 zu 2 ... weil es viel wahrscheinlicher ist, dass du mit dem anderen tor gewinnst ...
dabei spielt der umkehrschluss eine wichtige rolle ...
naemlich das du mit nahezu an sicherheit grenzender wahrscheinlichkeit nun nicht das richtige tor aus einer mio toren gewaehlt hast ... daher resultieren im 3tor beispiel auch die 66% ...

Ist eigentlich relativ einfach:

Es sind anfangs 3 Tore und Du wählst eines aus.
Du hast also mit einer Wahrscheinlichkeit von 33% das richtige Tor gewählt.

Hinter den beiden anderen Toren ist der Gewinn zu 66%. Der Moderatur öffnet nun das Tor von dem er weiss dass es nicht den Gewinn enthält.

Das verbleibende Tor enthält damit zu 66% den Gewinn.
Ein Wechsel verdoppelt damit die Gewinnchance.

PS: Das Problem bei der Sache ist, dass der Moderator von vielen nicht bedacht wird denn dieser öffnet nicht irgendein Tor sondern auf jeden Fall ein leeres. Würde er das Tor nicht öfnnen, sondern einfach ein zufälliges ausschließen, würde die Chance nun 50% betragen.

Also ich kann schon nachvollziehen wie das gemeint ist, aber es ist falsch.

Der Kandidat hat von vornherein eine 50%-50% Chance!!

1 falsches Tor wird ja sowieso geöffnet. Er kann bei seiner ersten Wahl von 3 Toren noch überhaupt nicht falsch liegen, da seine Auswahl ja nicht gleich geöffnet wird!

Eigentlich können Sie gleich von Anfang an nur 2 Tore zeigen. Ist doch nur zum Spannungsaufbau. Der Moderator kann von vornherein ein falsches Tor öffnen, da er dies nach der Wahl eh tut und dann muss sich der Kandidat von Neuem entscheiden als hätte er vorher noch gar nicht gewählt.

Gruß, Blackouts

Zitat:

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Also ich kann schon nachvollziehen wie das gemeint ist, aber es ist falsch.

Der Kandidat hat von vornherein eine 50%-50% Chance!!

(Zitat von: Blackouts)

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Das ist nicht richtig!

Es wird nicht irgendein falsches Tor geöffnet, sondern das falsche Tor, dass der Spieler nicht genommen hat! Es ist keine 50-50 Chance sondern 33-66.

Das ganze ist auch beweisbar.
Nehmen wir an, der Gewinn wäre in Tor A:

Fall 1 - mit wechseln:
Spieler nimmt Tor A und wechselt: Er verliert
Spieler nimmt Tor B und wechselt: Er gewinnt
Spieler nimmt Tor C und wechselt: Er gewinnt

Fall 2 - ohne wechseln:
Spieler nimmt Tor A: Er gewinnt
Spieler nimmt Tor B: Er verliert
Spieler nimmt Tor C: Er verliert

Bei Fall 1 gewinnt er in 2 von 3 Fällen, bei Fall2 gewinnt er nur in einem von 3 Fällen. qued.

Das ganze ist mathematisch beweisbar und auch im Versuch erruirbar (wir haben mal ein Computerprogramm geschrieben, dass das ganze simuliert weil auch gestandene Mathematiker das Problem nicht gebacken kriegen... ;) ). Glaubt's einfach, es ist so!

Wie gesagt, wenn man sich das ganze mit 100 Türen vorstellt wird es einleuchtender. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb das korrekte Tor zu treffen? 1%. Und nun öffnen wir 98 falsche Tore. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Gewinn nicht in unserem Tor? 99%. Und zu 99% ist er im letzten noch verbliebenen Tor.

Ich glaub euch das ja allen, aber fürmich macht das keinen Sinn, tut mir leid. :-) Meine Erklärung für den Fall ist ganz einfach und hat nur 4 Buchstaben!

Is so!!!

Ich verstehe was gemeint ist.
Bei den 100 Toren ist die Wahrscheinlichkeit höher das man anfangs falsch getippt hat und somit das übriggebliebene (nicht gewählte) Tor das Richtige sein muss.

OK, ein letzter Versuch: ;)

Du hast am Anfang zu 33% das richtige Tor gewählt und zu 66% das falsche. Soweit d'accord?

Dann kurz ein Einschub: Egal was jetzt passiert, Dein Tor war, ist und wird immer zu 66% das falsche Tor sein!

Die beiden anderen Tore haben zusammen eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 66%. Nun öffne ich eines der beiden Tore von dem ich weiss das es das falsche ist - die Gewinnwahrscheinlichkeit für dieses Tor fällt auf 0%, die des anderen steigt nun logischerweise -> auf 66%, denn vorher hatten die beiden ja zusammen eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 66%, und die bleibt gleich.

Also -> Dein Tor ist noch immer zu 33% das richtige, das andere zu 66% das korrekte.

Bearbeitet von - Big R am 17.04.2008 12:57:20

Zitat:

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Ich verstehe was gemeint ist.
Bei den 100 Toren ist die Wahrscheinlichkeit höher das man anfangs falsch getippt hat und somit das übriggebliebene (nicht gewählte) Tor das Richtige sein muss.

(Zitat von: Blackouts)

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Jepp, genau so ist es.